Правоъгълен триъгълник

Демонстрационен пример | Павел Бойчев | 2023

I. Урок

Правоъгълен триъгълник е този, на който единият от вътрешните ъгли е 90°. Страните, които сключват прав ъгъл, се наричат катети. Третата страна, която е срещуположна на правия ъгъл, се нарича хипотенуза.

Правоъгълните триъгълници имат специфични свойства, които ги отличават от останалите триъгълници. Една от най-известните теореми е теоремата на Питагор. Тя се отнася за правоъгълни триъгълници и гласи, че ако a и b са катети, а c е хипотенуза, то:

a² + b² = c².

Геометричната интерпретация на теоремата е, че ако построим квадрати на страните на правоъгълен триъгълник, то общото лице на квадратите до катетите е равно на лицето на квадрата до хипотенузата.

Теоремата на Питагор е частен на по-общата формула за намиране на ъгъл в триъгълник по дължините на страните му. Ако търсим ъгъл γ, срещуположен на страната c и сключен между a и b, тогава:

cos(γ) = (a² + b² - c²)/(2ab).

При правоъгълен триъгълник γ = 90°, следователно cos(γ) = 0 и a²+b²-c² = 0, което съответства на Теоремата на Питагор.

II. Задачи

За решаването на следните задачи използвайте формулите от урока и интерактивното поле. Когато се проверява някакво твърдение чрез експеримент, трябва да се отчете, че показаните данни са закръглени и резултатите не са формални доказателства, а само наблюдения.

Задача №1

Простройте следните триъгълници и проверете кои от тях са правоъгълни:

Триъгълник с дължини на страните AB=5, BC=4 и CA=3.
Триъгълник със страни CA=6 и AB=4, като ъгълът между тях е ∢A=30°.
Триъгълник със страна AB=10 и прилежащи ъгли по 45°.

Задача №2

Предложете начин, по който в интерактивното поле да може да се създава приблизително правоъгълен триъгълник, без да се ползват изчислените дължини на страни и ъгли.

Задача №3

Използвайки само интерактивното поле, изчислете с точност две цифри след десетичната запетая √13 (квадратен корен от 13). Използвайте Теоремата на Питагор и подходящ за целта триъгълник.

Задача №4

Предложете алгоритъм, с който чрез Питагоровата теорема да се определя лесно дали триъгълник е остроъгълен или тъпоъгълен. Демонстрирайте алгоритъма с примери.

III. Интерактивно поле

Мерки Линии Квадрати Мрежа Подравняване

Интерактивното поле съдържа 3 точки - A, B и C, които са върхове на триъгълник. Те могат да се влачат с мишката само в рамките на полето. С ляв бутон влаченето е нормално, а с десен бутон – е забавено, за да може да се постигне по-голяма точност.

Под полето има лента с опции:

Мерки – показват се ъглите, дължините и лицата
(в скоби под лицето на най-големия квадрат е общото лице на другите два)
Линии – показват се линии като продължения на страните
Квадрати – показват се квадрати към страните на триъгълника
Мрежа – показва се координатна мрежа с квадратчета 1x1
Подравняване – подравняват се върховете с точност половин единица

IV. Решения

Задача №1

За всяко подусловие конструираме търсения триъгълник. При кликване на илюстрацията към решението може да се види в реален размер.

Страните BC и CA са с дължина цели числа. Може да се използва режима на автоматично подравняване и да разположим тези страни перпендикулярно върху мрежата. Така полученият триъгълник е правоъгълен по конструкция.
Определяме приблизителни места на върховете на триъгълника, така че дадените дължини и ъгли да са близки до исканите. След построяването на триъгълника виждаме, че нито един от върховете му не е 90°, затова триъгълникът не е правоъгълен.
Двата известни ъгъла са по 45°, затова третият ъгъл е точно 90°. По дефиниция този триъгълник е правоъгълен, без значение колко е дължината на страна AB.

Задача №2

При създаването на триъгълника работим в режим на показани линии и квадрати. Когато линия съвпада със страна на квадрат, съответният ъгъл при върха е приблизително 90°. На илюстрацията продълженията на страните BC и CA съвпадат със страните на квадратите. Питагоровата теорема също е спазена, като и двете лица са 21 квадратни единици.

Задача №3

Вариант за пресмятане на √13 е чрез построяването на правоъгълен триъгълник с лице на квадрат 13 и дължина на съответната страна √13. При триъгълник с дължини на катетите 2 и 3 се получава лице на хипотенузния квадрат 2²+3²=13 и хипотенуза √13. Приблизително получената дтлжина е 3.61, което е приближение на √13 ≈ 3.6055512….

Задача №4

Ще представим алгоритъм, който определя дали връх в триъгълник е остър, прав или тъп. Чрез най-много трикратно прилагане може да се определи типа на триъгълника.

Функцията cos(γ) е:

с положителна стойност, ако 0≤γ<90°;
с нулева стойност, ако γ=90°;
с отрицателна стойност, ако 90°<γ<180°.

Понеже знакът на 2ab е винаги положителен, то знакът на cos(γ) ще съвпада със знака на a² + b² - c². Затова за ъгъла срещу страна c:

a² + b² > c², ъгълът е остър;
a² + b² = c², ъгълът прав;
a² + b² < c², ъгълът е тъп.

За установяване на типа на триъгълника е нужно да проверим типа само на най-големия му ъгъл във връх. Този ъгъл е срещу най-дългата стена.

Трите илюстрации по-долу представят нагледно тези три случая, като и в трите страната AB е най-дълга. За лявата фигура виждаме, че сумата на лицата на прилежащите на върха квадрати е по-голяма, т.е. триъгълникът е остроъгълен. На средната фигура лицата са равни, затова триъгълникът е правоъгълен. При дясната фигура сумата от лицата на прилежащите квадрати е по-малка и триъгълникът е тъпоъгълен.